Aflati numerele naturale

Vezi subiectul anterior Vezi subiectul urmator In jos

Aflati numerele naturale

Mesaj  lflorea la data de Dum Feb 10, 2013 7:02 pm

Aflati numerele naturale x,y,z,t pentru care

lflorea

Mesaje : 20
Reputatie : 0
Data de inscriere : 12/12/2012
Localizare : Arad

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Aflati numerele naturale

Mesaj  Admin la data de Mier Feb 20, 2013 9:43 pm

Soluție data de bedrix!:
3^x+3^y+3^z=t^2 (1)
3^2p=9^p=M8+1
3^(2p+1) = 3*3^2p=M8+3
Orice patrat perfect la impartirea cu 8 da restul in {0,1,4}
Fie S=3^x+3^y+3^z
Analizam toate cazurile dupa paritatea lui x,y,z:
Ex. x=par , y=impar , z=par rezulta S= (M8+1) + (M8+3) + (M8+1)=M8+5=nu este p.p.
Si ajungem la singurul caz favorabil : x=impar , y=impar , z=impar rezulta S= (M8+3) + (M8+3) + (M8+3)=M8+9=M8+1=poate fi p.p.
Fie x=2k+1 , y=2m+1 si z=2n+1 si relatia (1) fiind simetrica fata de x,y,z putem considera min(x,y,z)=x

Avem S=3^(2k+1)+ 3^(2m+1)+ 3^(2n+1)= (3^(2k+1))*(1+ 3 ^(m-k) +3^(n-k)) si S poate fi p.p. daca exponentul lui 3 este par rezulta m=k=n
rezulta x=y=z=2k+1 si S=(3^(2k+1))*3=(3^(k+1))^2 =t^2 rezulta t=3^(k+1)
R: {x,y,z,t} E {2k+1 , 2k+1 , 2k+1 , 3^(k+1) } , k E N ; evident sunt o infinitate de solutii[/quote]
avatar
Admin
Administrator


Mesaje : 870
Reputatie : 325
Data de inscriere : 14/08/2010
Localizare : Timişoara

Vezi profilul utilizatorului https://www.facebook.com/cosmosUpp

Sus In jos

Vezi subiectul anterior Vezi subiectul urmator Sus


 
Permisiunile acestui forum:
Nu puteti raspunde la subiectele acestui forum